Những vùng không liên tục

Trên thực tế có nhiều quốc gia mà các phần lãnh thổ không liền kề nhau. Ví dụ như phần lãnh thổ Alaska của nước Mỹ, Nakhchivan của Azerbaijan, hay Kaliningrad của Nga. Nếu việc vẽ bản đồ đòi hỏi các phần lãnh thổ này phải cùng màu thì việc sử dụng bốn màu là không đủ.

Trong toán học, những vùng đất tách rời này được gọi là điểm cô lập của tập hợp miền quốc gia.

Thử xét một hình vẽ đơn giản sau

Trong hình, hai khu vực được đánh dấu "A" cùng thuộc về một quốc gia, và phải được vẽ cùng màu. Bản đồ này phải sử dụng năm màu, nên cần chú ý một số điểm sau.

Một số điểm cần chú ý

Để tránh một số hiểu lầm về bài toán 4 màu, chúng ta cần phải lưu ý một số trường hợp đặc biệt mà có thể ngộ nhận là giả thiết 4 màu không đúng:

• Hai nước có chung 1 điểm được xem là không kề nhau: kề nhau phải có chung đường biên giới. Vì nếu không có quy ước này thì bản đồ có dạng như hình Các nước chung 1 điểm được xem là không kề nhau là phản ví dụ: phải dùng đến 5 màu (do 2 nước đôi một đều có chung 1 điểm).Một nước phải là một vùng liên thông
• Một nước phải là một vùng liên thông. Vì nếu không có quy ước này thì bản đồ có dạng như hình Một nước phải là một vùng liên thông là một ví dụ: bốn nước A, B, C, D đôi một kề nhau; nước E (có hai vùng đất 1 và 2) kề cả bốn nước A, B, C, D nên phải dùng đến 5 màu.Bản đồ buộc phải dùng 4 màu
• Con số 4 màu nói chung không thể hạ thấp xuống hơn: bản đồ có dạng như hình Bản đồ buộc phải dùng 4 màu buộc phải dùng đúng 4 màu.
• Bản đồ phải được vẽ trên mặt phẳng hay mặt cầu: ta có thể tìm ví dụ về bản đồ vẽ trên phao bơi cần phải dùng trên 5 màu mới có thể tô được.